ポケモンGOの回答詳細

大桐あい Lv12

アイテム所持上限は初期状態だと350個までしか持てません。
（例外として349個の状態から5個手に入れると354個持てますがそれ以上は上限を下回るまで持てません）
ほかの方も回答している通りアイテムの右端にあるゴミ箱をタップして捨てることで整理しましょう。

もしジム戦をしないのであれば、きずぐすり、元気のかけらは不用品なのですべて処分でいいと思います。
ただ普通にポケモン収集もしたい、ジム戦もこなしたいのであれば上限350個では厳しいと感じると思います。
その時はショップからアイテムアップグレードで所持上限を増やしてみてください。ショップは有料ですが、無課金でもジムにポケモンを配置することでポケコインを手に入れることはできるので、がんばればタダで行うこともできます。
手っ取り早く所持数増やしたければ課金してください。