いつもジムにいるユーザーとフレンドになるには？

ジムに置いたポケモンは、名前を変更してあっても本人にしか見えませんね。他人には普通にポケモン名で表示されます。
田舎だと、レイドで集まったりジムを潰している時に遭遇するとなんとなく本人が特定できますので、そこで声をかけるくらいでしょうか。
郊外といっても、都会の方だとストーカー的であまりよろしくない事が多いと聞きます。声を掛ける際は慎重にやった方が良いと思います。

相棒の名前はフレンドさんには見えますが、他人がジムに置いたものは元の名前で表示されるのでそれで伝えることはできません。

ジム活や現地レイドなどやってると、よく近くで見かける人がたぶんこのトレーナー名の人だなと分かることがありますので、それで特定して声をかけるという手はあります。

ただ、相手にもよりますが、例えば女性だと私のようなオッサンが声かけると誤解を招きかねないので難しいところですが。

相手が見てくれるか分かりませんが、みんぽけさんの共有マップにはフレンド募集の機能があるので、その人とよく会うジムの近くでフレンド募集することもできます。コメントで相手にメッセージを書くこともできますが、トレーナー名まで書くと迷惑がられるかもしれません。
ついでに他のフレンドさんも募集したいならこの方法でも良いと思います。

Campfireだとフレンド募集する機能は無いようなので、レイドグループやチャットでも特定の相手に伝えるのは困難だと思いますし、やるとすればグループとして募集するくらいでしょうかね。