バックグラウンドでの起動

当方の環境
本体:F-01H
android ver:5.1.1
で検証した結果と考察をお伝えします。

1,ポケモンgo(以後go)をつけたまま、goのバッテリーセーバー(スクリーンセーバーにロゴが入るやつ)の状態で歩く。
→もちろんカウント

2,goの画面からホームボタンを押してホーム画面を移す。(最近使用したアプリの中にgoは入ってる。)
→カウントされました

3,goを開いたままディスプレイの電源を切る。(いわゆるスリープモードにする)
→カウントされました

4,goの画面からホームボタンを押して、ディスプレイの電源を切る。(2と3合わせたやつ)
→カウントされませんでした。

つまり、goはブラウザ見ながら歩いても後ろで起動していれば、歩数にカウントされます。
スリープモードにしたいときはgoの画面から直接スリープモードにすればok

バイブレーションの通知に関しては、1の状態でしかおきませんでした。

しかし2つ注意点があります。
1,これは私の環境で実験したものでほかの環境はわからない。特にiOSはバックグランドで実行できないようなシステム(バッテリーを長持ちさせるため)があるそうなので、iphone等は1の状態でないと歩数がカウントされないと思います。(iphoneやほかの環境の方検証お願いします。)

2,上の3の状態ですが、今回バッテリーの下がり具合は図っていないので確かなことは言えませんが、おそらくバッテリーをかなり消耗していると思います。

以上になります！
バッテリーの下がり具合を今度は図ってみようと思うので、図り次第追記させていただきます！

アプリを開いていないと無理です。

今月末？発売の「ポケモンGOプラス」を買うと、アプリを閉じても通知を受け取れるみたいです。
http://namisoku.net/pokemon-go-plus-release/

これを売りたいがための仕様な気がします（-_-;）

バイブ通知は起きなかったのですが、卵の歩数はしっかり減っていました。
裏で落ちていなければ大丈夫なようです。

自分が知る限りしませんね。
大体他アプリ使いながら移動してからポケモンGOに戻るとマップも前の場所に止まったままになったりしますし。