ジムのポケモンについて

ジムにはそれぞれ所属チーム、名声ポイント、名声ポイントに基づくジムレベルがあります。

所属チームについては特に説明の必要は無いと思いますので割愛します。
要はそのジムを占領しているトレーナーの所属チームですね。

ジムレベルですが、名声ポイントにより上がったり下がったりするワケです。
名声ポイントはトレーニング（自分の所属チームと同じ色のジムでのジムバトル）により上昇し、他チームのトレーナーとのバトルで登録済ポケモンが敗れると下降します。
ジムレベル、名声ポイント、登録可能ポケモンの数は以下のように決まっています。

1,0,1
2,2000,2
3,4000,3
4,8000,4
5,12000,5
6,16000,6
7,20000,7
8,30000,8
9,40000,9
10,50000,10

ポケモンをジムに登録すると名声ポイントが2000上昇しますので、そのジムが他チームから攻撃されておらずトレーニングも無い状態だとすると、ジムレベル3までは何もしなくてもポケモンをジムに登録可能です。
ジムレベル4〜7まではレベル上昇に必要な名声ポイントが4000になりますので、ご自分のポケモンを登録して得られる名声ポイント2000を差し引いた分、つまり2000の名声ポイントをトレーニングにより稼ぐ必要があります。
同様の理由からジムレベル8〜10では8000の名声ポイントを稼ぐ必要があるわけです。

トレーニングは通常のジム戦（他チームのジムで戦う場合）と基本的なやり方は変わりません。
ジムに近付き、バトルが可能になったら、戦わせるポケモンを選択して戦わせます。
トレーニングが通常のジム戦と違うのは下記の点です。

・仲間と一緒に戦うことが出来ない
・相手のポケモンと自分のポケモンのCPの違いにより得られる名声ポイントが変わる

通常のジム戦の場合、こちらのCPが相手のCPよりも高かろうが低かろうが、相手を倒すことにより下降する事の出来る名声ポイントは一定です。
トレーニングの場合、こちらのCPが相手よりかなり低い場合、得られる名声ポイントは跳ね上がりますし、逆も然りです。
その為、登録済ポケモンのタイプと手持ちポケモンの相性や技がとても重要になります。

なので、自分のチームと同じ色のジムにポケモンを登録する為には、通常のジム戦同様にジムに近付いてトレーニングを繰り返して、名声ポイントを規定量以上まで稼ぐ、という事になります。