不具合？仕様？

(1) お使いの機種が分かりませんが、現在順次公開中のアップデート0.191で一部機種でいつでも冒険モードが動かない不具合が修正させるようです。

(2) こちらも0.191で修正予定とのことです。

(3) 仕様です。
ストア購入分やリサーチ報酬分以外ではレーダーを2個以上持つことはできません。

①機種によっては対応してなかったり、アプリの連携が必要になりますが設定は完了していますか？
こちらにヘルプがあるので参考に。
https://niantic.helpshift.com/a/pokemon-go/?s=troubleshooting&f=troubleshooting-adventure-sync&l=ja&p=web

③仕様です。
レーダーを1つでも持っているとパーツはもらえません。
起動している、していないも関係ありません。
レーダーが無くなるとまたパーツをもらえるようになります。

③は仕様です。

①はiPhoneでもいつでも冒険モードの距離反映に5分以上かかる事もありますので、しばらく待つとか、あるいはアプリを起動しなおすなどの対処が必要な事もあります。
また、メイン端末の充電中にプレーするためのサブ端末のiPhone 6Sで、iOSのアップデートをせずにポケモンGOアプリだけを最新にしたらいつでも冒険モードの距離が反映されなくなった事がありました。アプリ側は最新OSを前提に作られますので、古いOSのままなら最新OSにアップデートしてみてはいかがでしょう？もしOSをアップデートできないなら、新しい端末に買い替えるしかないかも知れません。

②はiPadでは一時そういう事になっていましたが、タブレットをお使いなのでしょうか？アプリ自体が最近の縦長画面を想定して作られているようなので、ある意味仕様と言われてもしょうがないかも知れません。

利用している環境を書いておいた方が適切な回答が得られやすいと思いますよ。

①Android版にはかなり前からそういった不具合があり、私の友人もいつでも冒険モードはごく稀にしか機能しないとよくぼやいています。
https://niantic.helpshift.com/a/pokemon-go/?s=release-notes-known-issues&f=known-issues&l=ja&p=web
修正予定とありますが、Google Fitアプリのレビューを見てもひどい状況ですし、ポケモンGOやナイアンの問題というより、Google Fitプラットフォームの問題の様な気もします・・・

②以前にも同様の質問があり、かなり縦長の端末だけを想定した表示にしてしまっている不具合だと思われます。
https://pokemongo.gamewith.jp/questions/show/278395

③これは仕様でしょう。
蛇足になりますが、バッグにアイテムの空きが無いとレーダーが完成していなくともパーツが貰えないのも要注意です。