ポケモンGOの回答詳細

別のiPhoneではログインできるとのことですので、お使いのiPhone6に原因があるのは間違いないでしょうね。

Pokémon GO－トラブルシューティング

https://support.pokemongo.nianticlabs.com/hc/ja/articles/115005262507-%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%AC%E3%82%A4%E3%83%89

↑公式のトラブルシューティングは、すべて試されているということでよろしいでしょうか（URLが上手く貼れてないかもしれませんが）。

既にいろいろと試されているとは思いますが、Googleアカウントのログインで引っ掛かるということは、iPhoneの内部ストレージに保存されている「不具合を含んだキャッシュ」が消去しきれていないため、毎回これを読み込んできてログインに失敗するのでしょう。

問題が解決されるとすれば、キャッシュ削除－iPhone6再起動－Pokémon GOアプリ起動でログイン成功、の流れしかないように思います。

私はiPhone7 PlusとiPhone8 Plusしか持っていませんので、同じ環境ではありませんが、iPhone7 Plusは現在iOS10.3.3で、

設定のアイコン（歯車）の、
「一般」－「ストレージとiCloudの使用状況」－「ストレージ」の項目（上段）の「ストレージを管理」

で表示される「Safari」の「Webサイトデータ」は質問文にありますから、既に削除されていますよね。

同じく設定のアイコン（歯車）－「Safari」－「一般」の「パスワード」の部分も削除されているでしょう。

これ以外で考えられるのは、「Safari」アプリを起動した状態で、画面右下の「タブを選択する部分」を長押し（タップ）して、「すべてのタブを閉じる」くらいしか思いつきません。

最終手段はiPhone6の初期化となるんでしょうかね。iCloudにバックアップすれば、そこまでハードルは高くないとは思いますが。